椭圆曲线

椭圆曲线

定义

椭圆曲线是域上亏格为1的光滑射影曲线，它的(仿射)方程，通常称为维尔斯特拉斯方程，可以写成

如果这个域的特征不等于2和3，则可以改写成

或作为实曲面看，复数域上的椭圆曲线就是带有一个洞的闭曲面--环面。环面可以通过同向粘合正方形的两对对边得到，其拓扑亏格为1。 

椭圆曲线和椭圆函数，椭圆积分等内容密切相关。 著名的费马大定理的证明也与此有关。

总之，椭圆曲线是代数几何中最重要的一类研究对象。

群结构

椭圆曲线上的点全体构成一个加法群， 点与点之间的“加法”运算。 正因为椭圆曲线存在加法结构，所以它包含了很多重要的数论信息。椭圆曲线和它的雅可比簇是同构的，所以它上面的“加法”结构实际上来自于它的雅可比簇的自然加法结构。 

椭圆曲线上的有理点的个数也是人们关心的重要问题，这个问题和著名的Mordell-Weil定理有关。Mordell-Weil定理是说：椭圆曲线上有理点构成的群是有限生成的。另一方面，椭圆曲线上的整点只有有限多个，这个定理被称为Siegel定理。

通过以下实例，可以更好的理解上述两个定理：椭圆曲线

上，仅有16个整点:(-2,3),(-1,4),(2,5),(4,9),(8,23),(43,282),(52,375),(5234,378661)，以及它们关于x轴的对称点，而其上所有的有理点可以由(-2,3),(2,5)通过群上的加法生成。

更一般地，整体域上的椭圆曲线的点总构成有限生成交换群。

相交理论

Bezout定理告诉我们， 两条光滑椭圆曲线相交于9个点（切点重复计算）。 进一步，如果有第三条光滑椭圆曲线经过其中的8个交点，那它必定经过第九个点。这是古典代数几何中的一个重要的结论。欧拉对此问题也有过考虑。

作为推广，X.诺特（Noether）曾经得到了更一般的代数曲线交点的类似结论。 这个问题和代数曲面上秩2向量丛的半稳定性有着深刻的内在联系。 谈胜利利用秩2向量丛的Bogomolov不等式， 将此问题推广到最一般的情形。

退化情形

由于椭圆曲线在射影平面中是三次曲线，所以它可以退化为许多特殊的情形：

（1）三条直线；（2）一条直线和一条二次曲线（即圆锥曲线，比如椭圆，双曲线，抛物线）。

将这些退化情形放到上述的结论中， 我们就得到了许多著名的射影几何中的定理，如帕斯卡定理等等。

模性

模性是指整体域上椭圆曲线的L函数等于某一个自守形式的L函数，这是Langlands纲领的一部分。Wiles在其1995年重要工作中证明了有理数域上的半稳定椭圆曲线是模的，并由此推出了费马大定理。 

之后Breuil, Conrad, Diamond, Taylor去掉了半稳定限制。

Drinfeld，Deligne，Zarhin等人证明了函数域上的模性。